Stacionární elektrický proud

TL;DR

• Stacionární proud teče pořád stejně (nemění se v čase). Napětí ho tlačí, odpor mu brání, Ohmův zákon je spojuje: $U = RI$.
• Reálný zdroj má vnitřní odpor $R_i$, proto na svorkách naměříme míň než kolik je elektromotorické napětí: $U = U_e - R_i I$. A díky němu při zkratu proud neletí do nekonečna.
• Kirchhoffovy zákony řeší jakýkoli obvod: 1. (uzel) plyne ze zachování náboje, 2. (smyčka) ze zachování energie.
• “Optimální zatěžovací odpor” je dvojznačný: $R = R_i$ dává maximální výkon na zátěži (ale účinnost jen 50 %), velké $R$ dává maximální účinnost (ale malý výkon).

Klíčové body

Středoškolský základ (MUST):

• Stacionární proud a jeho definice: $I = \dfrac{Q}{t}$, jednotka ampér (A).
• Ohmův zákon: $U = RI$.
• Elektromotorické napětí, svorkové napětí a vnitřní odpor zdroje: $U = U_e - R_i I$.
• Ohmův zákon pro celý obvod: $I = \dfrac{U_e}{R + R_i}$.
• Zkrat: $R \to 0$, proud omezuje už jen vnitřní odpor zdroje.
• Kirchhoffovy zákony: 1. (uzel, zachování náboje), 2. (smyčka, zachování energie).
• Sériové a paralelní řazení odporů.
• Práce a výkon: $W = UIt$, $P = UI = RI^2 = \dfrac{U^2}{R}$.

VŠ nadstavba (pokud zbude čas):

• Účinnost zdroje vzorcem $\eta = \dfrac{R}{R + R_i}$ a odvození optimálního odporu derivací ($\frac{dP}{dR} = 0 \Rightarrow R = R_i$).
• Metoda smyčkových proudů a princip superpozice jako další metody řešení sítě.

Nejdůležitější podotázky: Ohmův zákon a elektromotorické/svorkové napětí jsou základ; odvození Kirchhoffových zákonů je hlavní (sylabus chce výslovně odvození); práce a výkon středně; účinnost a optimální odpor středně, ale s důrazem na dvojznačnost výkon vs. účinnost; řešení sítě a metody okrajově (stačí umět Kirchhoffa a zjednodušování, o zbylých metodách vědět, že existují).

Stacionární proud a Ohmův zákon

Elektrický proud je uspořádaný pohyb nábojů. Stacionární znamená, že se v čase nemění, jako voda v řece s konstantním průtokem. Definuje se jako náboj prošlý průřezem vodiče za jednotku času:

$I = \frac{Q}{t}$

Jednotka je ampér, $1\,\text{A} = 1\,\text{C}/\text{s}$. Konvenční směr proudu je od kladného k zápornému pólu, tedy opačně, než se ve vodiči skutečně pohybují elektrony.

Vztah mezi napětím, odporem a proudem dává Ohmův zákon:

$U = RI$

Intuitivně: napětí je rozdíl potenciálů, který náboje “tlačí” (jako rozdíl výšky vody). Odpor je míra, jak moc se vodič brání průchodu proudu (úzká trubka proti široké). Proud je výsledek.

Elektromotorické a svorkové napětí

Elektromotorické napětí $U_e$ je napětí, které zdroj “umí vyrobit”, když z něj neteče proud, tedy idealizovaná hodnota zdroje. Reálný zdroj má ale vnitřní odpor $R_i$. Jakmile z něj teče proud, část napětí se “ztratí” na tomto vnitřním odporu a na svorkách se naměří méně.

Naměřené svorkové napětí:

$U = U_e - R_i I$

Zdroj si lze představit jako ideální baterii $U_e$, ve které sedí malý odpor $R_i$ ukrajující si svůj díl. Čím větší proud teče, tím větší úbytek na vnitřním odporu a tím nižší svorkové napětí.

Po připojení vnějšího odporu $R$ se proud spočítá z Ohmova zákona pro celý obvod:

$I = \frac{U_e}{R + R_i}$

Elektromotorické napětí tlačí proud přes oba odpory, vnitřní i vnější, proto se v jmenovateli sčítají.

Hraniční případy:

• $R \to \infty$ (rozpojený obvod): $I = 0$, takže $U = U_e$. Voltmetr na nezatíženém zdroji ukazuje elektromotorické napětí.
• $R \to 0$ (zkrat): $I = \dfrac{U_e}{R_i}$. Proud je maximální možný, omezený už jen vnitřním odporem. Svorkové napětí klesá k nule a veškerá energie se mění na teplo uvnitř zdroje, proto se zdroj při zkratu zahřívá. Vnitřní odpor je přesně to, co brání tomu, aby proud při zkratu rostl nade všechny meze.

Pozor na pojem: vnitřní odpor má zdroj, ne spotřebič. “Nepřipojený spotřebič” znamená chybějící vnější odpor, ne chybějící vnitřní.

Odvození Kirchhoffových zákonů

Oba zákony jsou zákony zachování přepsané do elektrického jazyka.

První Kirchhoffův zákon (uzlový)

Plyne ze zachování náboje. V uzlu (rozcestí vodičů) se náboj nehromadí ani nemizí, takže kolik proudu vteče, tolik vyteče:

$\sum I_{\text{dovnitř}} = \sum I_{\text{ven}} \qquad \text{ekvivalentně} \qquad \sum I_k = 0$

Analogie: rozdvojka vodovodního potrubí. Kolik vody do uzlu přiteče, tolik dvěma trubkami odteče.

Druhý Kirchhoffův zákon (smyčkový)

Plyne ze zachování energie. Potenciál je energie na jednotku náboje. Projde-li zkušební náboj celou uzavřenou smyčku a vrátí se do výchozího bodu, musí mít stejný potenciál jako na začátku, jinak by se energie tvořila nebo ničila z ničeho. Součet všech napětí kolem smyčky je proto nulový:

$\sum U_k = 0$

Pro praktický výpočet ve formě, kde na levé straně jsou zdroje a na pravé úbytky:

$\sum U_{e,k} = \sum R_k I_k$

Klíčové: do úbytků na pravé straně patří všechny odpory ve smyčce, tedy i vnitřní odpory zdrojů, ne jen vnější spotřebiče. Vnitřní odpor je z hlediska rovnice obyčejný úbytek, jen náhodou sídlí uvnitř zdroje.

Analogie: chůze po kruhové horské stezce. Někde se stoupá (průchod zdrojem od mínusu k plusu), někde klesá (úbytek na odporu), ale návratem do startu je výška stejná, součet stoupání a klesání je nula.

Znaménková konvence

Při sestavování rovnic se postupuje takto:

• Zvolí se směr proudu v každé větvi (libovolně, vyjde-li záporný, teče opačně).
• Zvolí se směr obíhání každé smyčky (libovolně, smyčky nemusí být obíhány stejně).
• Při průchodu smyčkou: zdroj přispívá $+U_e$ při průchodu od mínusu k plusu, jinak $-U_e$; rezistor přispívá úbytkem $-RI$ ve směru proudu a $+RI$ proti směru.

Volba směrů je svobodná, ale jakmile je provedena, musí se důsledně držet po celý výpočet. Právě tady studenti nejčastěji chybují: zvolí směry a v půlce výpočtu na ně zapomenou.

Kolik rovnic a na čem

• Počet neznámých proudů = počet větví (úseků mezi uzly, kde teče jeden společný proud). Ne počet zdrojů, ne počet smyček. Tolik je potřeba rovnic.
• Z prvního zákona se použije $n-1$ uzlových rovnic (o jednu méně, než je uzlů; poslední uzel už nepřináší novou informaci).
• Zbytek se doplní smyčkovými rovnicemi (jedna rovnice na jednu smyčku).

Konkrétní obvod se dvěma zdroji, dvěma smyčkami, třemi větvemi a dvěma uzly (A nahoře, B dole):

Tři větve znamenají tři neznámé proudy. Soustava (proudy zvoleny tak, že $I_1$ a $I_2$ tečou do uzlu A, $I_3$ z něj středem):

$I_1 + I_2 = I_3$ $U_{e1} = R_{i1} I_1 + R I_3$ $U_{e2} = R_{i2} I_2 + R I_3$

Jedna uzlová rovnice (uzel B by dal totéž) plus dvě smyčkové dohromady tři rovnice pro tři neznámé. Soustava je řešitelná.

Práce a výkon stacionárního proudu

Práce vykonaná na přenesení náboje $Q$ napětím $U$:

$W = UQ = UIt$

Výkon je práce za jednotku času:

$P = UI = RI^2 = \frac{U^2}{R}$

Tři tvary jsou jen dosazení Ohmova zákona, hodí se podle toho, které veličiny jsou známé. Na rezistoru se tento výkon mění na teplo (Jouleovo teplo).

Účinnost zdroje a optimální zatěžovací odpor

Slovo “optimální” má dva různé významy podle toho, co se má optimalizovat. To je nejzákeřnější bod celé otázky.

Maximální výkon na zátěži

Výkon na vnějším odporu:

$P = R I^2 = \frac{U_e^2\, R}{(R + R_i)^2}$

V obou extrémech vychází malý: pro $R \to 0$ je velký proud, ale skoro nulové napětí na zátěži; pro $R \to \infty$ je velké napětí, ale skoro nulový proud. Maximum je proto někde mezi. Položením $\frac{dP}{dR} = 0$:

$\frac{dP}{dR} = U_e^2 \frac{R_i - R}{(R + R_i)^3} = 0 \quad\Rightarrow\quad R = R_i$

Optimální zatěžovací odpor pro maximální výkon se rovná vnitřnímu odporu zdroje. Říká se tomu přizpůsobení zátěže (uplatní se u reproduktorů, antén).

Maximální účinnost

Účinnost je poměr výkonu užitečně spotřebovaného na zátěži k celkovému výkonu, který zdroj dodá:

$\eta = \frac{P_{\text{zátěž}}}{P_{\text{celkem}}} = \frac{R I^2}{(R + R_i) I^2} = \frac{R}{R + R_i}$

Tady žádné maximum uprostřed není, účinnost monotónně roste s $R$ a limitně $R \to \infty$ dává $\eta \to 1$.

Ten háček

Obě optimalizace jdou proti sobě. Při $R = R_i$ (maximální výkon) je účinnost právě

$\eta = \frac{R_i}{R_i + R_i} = \frac{1}{2} = 50\,\%,$

protože stejně velký vnitřní i vnější odpor spálí stejně velký výkon, polovina energie tedy zmizí uvnitř zdroje. Při vysoké účinnosti naopak teče malý proud, takže výkon je malý. Obojí naráz nelze. Odpověď "$R = R_i$" sama o sobě platí jen pro maximální výkon, ne pro maximální účinnost.

Řešení elektrické sítě a metody řešení

Řešení sítě znamená najít všechny proudy a napětí v obvodu. Hlavní metody:

• Postupné zjednodušování (sériové a paralelní řazení). Sériově se odpory sčítají ($R = R_1 + R_2 + \dots$), paralelně se sčítají převrácené hodnoty ($\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots$). Obvod se poskládá do jednoho náhradního odporu, spočítá se celkový proud a pak se zpětně dopočítají proudy a napětí ve větvích. Funguje jen na obvody rozložitelné na sérioparalelní kombinace; můstkový obvod takto rozložit nelze.
• Kirchhoffovy zákony. Univerzální metoda, funguje vždy. Označí se proudy ve větvích, napíšou se uzlové ($n-1$) a smyčkové rovnice, soustava se vyřeší. Pracnější, ale poradí si s čímkoli, a to je pro státnici hlavní metoda.
• Metoda smyčkových proudů. Zjednodušení Kirchhoffa: místo proudů ve větvích se zavede fiktivní proud kroužící v každé smyčce, skutečný proud ve větvi je pak součet nebo rozdíl smyčkových proudů, které jí procházejí. Píšou se rovnou jen smyčkové rovnice, uzlové odpadnou.
• Princip superpozice. Pro obvody s více zdroji: spočítá se příspěvek každého zdroje zvlášť (ostatní se nahradí jen svým vnitřním odporem) a výsledné proudy se sečtou. Funguje díky linearitě obvodu.

Souvislosti

Odvození obou Kirchhoffových zákonů opírá celou otázku o zachování náboje a zachování energie, takže se energetický pohled prolíná s mechanikou i termodynamikou. Pojmy napětí, potenciál a intenzita pole navazují přímo na elektrostatiku, kde jsou zavedeny. Vedení proudu v kovech (mikroskopický původ odporu a jeho teplotní závislost) tuto otázku prohlubuje směrem k fyzice pevných látek.