Vedení elektrického proudu v kovech a v pevných látkách

TL;DR

• V kovu vede proud “moře” volných elektronů. Pole je táhne dopředu, srážky s ionty mřížky brzdí, ustálí se pomalý drift jedním směrem — a ten drift je proud.
• Měrná vodivost $\sigma$ je vlastnost materiálu (jak ochotně se v něm rozjede drift), kdežto vodivost konkrétního drátu závisí i na jeho tvaru: $G = \sigma \frac{S}{l}$. S teplotou odpor kovu roste, protože ionty kmitají víc a brzdí víc.
• Jestli pevná látka vede, rozhoduje pásová teorie: vést může jen elektron, který má vedle sebe volné místo. Kov ho má (vede vždy), izolant má velký zakázaný pás (nevede), polovodič malý (vede po zahřátí).
• V polovodiči vedou dva nositelé: elektrony (záporné) a díry (kladné). Dopováním příměsí vzniká typ N (víc volných elektronů) nebo typ P (víc děr).
• Spojením P a N vznikne PN přechod s hradlovou (ochuzenou) vrstvou a napěťovou bariérou — to je základ diody (propustný a závěrný směr) i tranzistoru (tenká báze řídí velký proud).

Klíčové body

Středoškolský základ (MUST):

• Model vedení v kovu: volné valenční elektrony, drift jako uspořádaný pohyb na pozadí chaotického pohybu, proud jako důsledek driftu.
• Odpor a měrný odpor, vodivost $G = 1/R$, geometrie $R = \rho \frac{l}{S}$.
• Teplotní závislost odporu kovu: $R = R_0(1 + \alpha\,\Delta t)$, pro kovy $\alpha > 0$ (odpor roste).
• Pásová teorie: valenční pás, vodivostní pás, zakázaný pás; rozdíl mezi kovem, polovodičem a izolantem.
• Vlastní vodivost polovodiče: elektrony a díry, vznik v párech.
• Nevlastní vodivost: dopování, typ N (donory, majoritní elektrony) a typ P (akceptory, majoritní díry).
• PN přechod a dioda: propustný a závěrný směr, hradlová vrstva.
• Bipolární tranzistor: tři vrstvy (NPN nebo PNP), funkce spínač a zesilovač.

VŠ nadstavba (pokud zbude čas, ale sylabus ji žádá):

• Odvození měrné vodivosti $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$ z driftového modelu pomocí relaxačního času $\tau$.
• Propojení mikroskopického popisu ($j = \sigma E$, $v_d = \frac{eE\tau}{m}$) a makroskopického ($I = GU$) přes vztahy $U = El$ a $G = \sigma\frac{S}{l}$.
• Vznik vnitřního pole a bariéry v ochuzené (hradlové) vrstvě PN přechodu.

Nejdůležitější podotázky: Pásová teorie a polovodiče (vlastní/nevlastní vodivost, PN přechod, dioda, tranzistor) jsou jádro a ptají se na ně nejvíc. Odvození měrné vodivosti a teplotní závislost odporu jsou středně důležité. Hlavní je umět to propojit do souvislého příběhu, ne odříkat vzorce.

Vedení proudu v kovech

Kov je krystalová mřížka kladných iontů zakotvených na svých místech (kmitají kolem rovnovážné polohy), mezi nimiž se pohybuje “moře” volných valenčních elektronů. Každý atom pustil jeden nebo pár nejvzdálenějších elektronů na volno; ty se mohou pohybovat napříč celým kovem. Spousta volně pohyblivých nositelů náboje je přesně to, co odlišuje kov od izolantu.

Bez napětí se elektrony pohybují chaoticky, a to obrovskými rychlostmi (řádově $10^5$ až $10^6$ m/s). Jelikož letí na všechny strany stejně, navenek se to vyruší a žádný proud neteče. Po připojení napětí vznikne uvnitř pole $\vec{E}$, které na elektrony tlačí silou. Na chaotický pohyb se nasadí pomalý systematický posun jedním směrem — driftová rychlost $v_d$. Tento drift je elektrický proud. Driftová rychlost je přitom směšně malá (zlomky milimetru za sekundu), zatímco signál (pole) se po drátu rozběhne rychlostí blízkou rychlosti světla a rozhýbe elektrony všude naráz — jako trubka plná kuliček, kde po strčení jedné na druhém konci hned jedna vypadne.

Měrná vodivost — odvození z pohybu elektronů

V kovu je $n$ volných elektronů na jednotku objemu, každý s nábojem velikosti $e$ a hmotností $m$; uvnitř je pole $E$.

Pole žene elektron silou $F = eE$, druhý Newtonův zákon dává zrychlení $a = \frac{eE}{m}$. Kdyby nic nebrzdilo, elektron by zrychloval bez mezí. Brzdí ho srážky: co chvíli narazí na kmitající ion mřížky a od-driftuje se, jako by zapomněl, kam se rozjel. Průměrná doba mezi dvěma srážkami je relaxační čas $\tau$. Mezi srážkami zrychluje po dobu $\tau$, takže nasbírá driftovou rychlost

$v_d = a\,\tau = \frac{eE\tau}{m}.$

Driftovou rychlost je třeba spojit s proudovou hustotou $j$. Za čas $\Delta t$ urazí každý elektron dráhu $v_d\,\Delta t$, takže průřezem $S$ projdou všechny elektrony z úseku o objemu $S v_d \Delta t$. Jejich náboj je $\Delta Q = e\, n\, S v_d \Delta t$, proud $I = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = neSv_d$ a proudová hustota

$j = \frac{I}{S} = n e\, v_d = ne \cdot \frac{eE\tau}{m} = \frac{ne^2\tau}{m}\,E.$

Ohmův zákon v mikroskopickém tvaru říká $j = \sigma E$. Porovnáním vychází měrná vodivost (konduktivita)

$\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}, \qquad \rho = \frac{1}{\sigma} = \frac{m}{ne^2\tau}.$

Vzorec lze číst intuitivně: kov vede lépe, čím více má volných nositelů ($n$) a čím déle letí mezi srážkami ($\tau$, větší $\tau$ znamená větší nabraný drift), a hůře, čím těžší jsou nositelé ($m$ ve jmenovateli).

Vodivost versus měrná vodivost

Dvojice pojmů, které se snadno pletou:

Měrná vodivost $\sigma$ (jednotka S/m) je vlastnost materiálu. Měď má jednu hodnotu $\sigma$ bez ohledu na tvar. Vyšla přímo z mikroskopického modelu, protože $n$, $\tau$, $m$ jsou vlastnosti látky.

Vodivost $G$ (jednotka S, siemens) je vlastnost konkrétního kusu vodiče a je převrácenou hodnotou odporu, $G = 1/R$. Záleží nejen na materiálu, ale i na tom, jak je vodič tlustý a dlouhý. Spojuje je geometrie:

$G = \sigma\,\frac{S}{l}, \qquad R = \rho\,\frac{l}{S},$

kde $S$ je průřez a $l$ délka. Tlustší (větší $S$) a kratší (menší $l$) drát vede lépe, což odpovídá intuici. Stejná dvojice platí pro odpor a měrný odpor.

Vztah napětí a intenzity

Pro homogenní pole (rovnoměrné podél rovného vodiče) platí

$U = E\,l, \qquad E = \frac{U}{l}.$

Intenzita $E$ je síla na jednotkový náboj (jak silně pole tlačí v každém bodě), napětí $U$ je práce na jednotkový náboj přes celou dráhu $l$. Protože práce je síla krát dráha, dostává se $U = El$. Analogie: $E$ je strmost svahu, $U$ celkové převýšení; strmý krátký svah a mírný dlouhý svah mohou mít stejné převýšení.

Tento vztah propojuje mikroskopický tvar Ohmova zákona ($j = \sigma E$) s makroskopickým ($I = GU$): dosazením $E = U/l$ a přenásobením průřezem přejde jeden v druhý. Mikroskopický a makroskopický popis jsou tedy táž věc z různé strany.

Závislost odporu kovů na teplotě

Při zahřátí kmitají ionty mřížky intenzivněji a s větším rozkmitem, takže představují větší překážku — elektron se na výchylkách mřížky rozptyluje častěji, a tím se zkracuje doba mezi srážkami $\tau$. Ze vztahu $\sigma = \frac{ne^2\tau}{m}$ plyne: menší $\tau$ znamená menší $\sigma$ a větší měrný odpor $\rho$. Odpor kovu tedy s teplotou roste.

V běžném rozsahu teplot roste přibližně lineárně:

$R = R_0\,(1 + \alpha\,\Delta t),$

kde $R_0$ je odpor při výchozí teplotě, $\Delta t$ změna teploty a $\alpha$ teplotní součinitel odporu (pro kovy kladný).

U polovodiče je závislost opačná, odpor s teplotou klesá. Tam totiž teplo hlavně uvolňuje nové nositele náboje (vykopne elektrony přes zakázaný pás), a tento efekt přebije zhoršené srážky. Kov má pevně daný počet volných elektronů, takže o jeho odporu rozhodují srážky a odpor roste; v polovodiči nositelů zahřátím přibývá, a odpor proto klesá.

Pásová teorie vodivosti pevných látek

V jednom osamoceném atomu může mít elektron jen určité diskrétní energetické hladiny (schody). Spojí-li se mnoho atomů do krystalu, hladiny sousedních atomů se navzájem rozhodí a je jich tolik, že se slijí do širokého pásu — z ostrého schodu se stane spojitá rampa. Důležité jsou dva nejvyšší pásy: valenční pás, v němž sedí elektrony vázané v krystalu, a vodivostní pás, kde je elektron volný a může vést proud. Mezi nimi může (ale nemusí) ležet zakázaný pás, energiová mezera $E_g$, kde elektron být nesmí.

Klíčové pravidlo: aby elektron vedl, musí mít hned vedle sebe volné místo, kam zrychlit. Úplně plný pás je jako narvané parkoviště — všichni stojí, nikdo se nepohne. Vést proud lze jen tehdy, je-li pás napůl prázdný, nebo přeskočí-li elektron do prázdného vyššího pásu.

Tři případy: kov, polovodič, izolant

Kov má vodivostní a valenční pás překryté nebo vodivostní pás jen napůl plný — elektrony mají volná místa hned vedle sebe a stačí nepatrné pole, aby se rozjely. Vede vždy a snadno. Izolant má valenční pás plný a nad ním obří zakázaný pás (řádově 5 eV i víc), který elektron nepřeskočí, a proto nevede. Polovodič vypadá stejně jako izolant, jen je mezera malá (křemík asi 1,1 eV): za studena se chová jako izolant, ale po zahřátí (nebo osvětlení) elektrony mezeru přeskočí a látka začne vést.

Vlastní a nevlastní vodivost polovodičů

Vlastní vodivost — elektrony a díry

Čistý polovodič za studena nevede (valenční pás plný, vodivostní prázdný). Dodá-li se energie (teplo, světlo), některý elektron přeskočí z valenčního do vodivostního pásu a může vést. Po elektronu ale zůstane ve valenčním pásu prázdné místo — díra.

Díra není “nic” — je to prázdné místo v jinak plném pásu, do kterého mohou poskakovat sousední elektrony. Když elektron skočí do díry, díra se objeví tam, odkud elektron přišel; díra tedy putuje pásem opačným směrem než poskakující elektrony a navenek se chová jako kladný náboj. Ve vlastním (čistém) polovodiči proto vedou dva nositelé: volné elektrony (záporné, ve vodivostním pásu) a díry (kladné, ve valenčním pásu). Vznikají vždy v párech (kolik elektronů vyskočí nahoru, tolik děr zůstane dole). Vlastní vodivost je slabá a roste s teplotou.

Nevlastní vodivost — dopování

Nevlastní vodivost je dána záměrně přidanými příměsmi (dopováním), které vodivost nastaví předem, bez čekání na teplo. Klíč je v počtu vazeb. Křemík má 4 valenční elektrony a v krystalu se váže se čtyřmi sousedy; vše je spárované. Přidá-li se atom, který se do čtyřvazebné struktury nehodí, vzniknou dva typy.

Typ N vznikne přidáním atomu s pěti valenčními elektrony (například fosfor). Čtyři se zapojí do vazeb, pátý drží jen slabě a snadno se uvolní jako volný elektron — vznikne mnoho volných elektronů (záporné nositele), N jako negativní. Typ P vznikne přidáním atomu se třemi valenčními elektrony (například bór nebo hliník). Ten utvoří jen tři vazby, ve čtvrté chybí elektron, a to chybějící místo je díra — vznikne mnoho děr (kladné nositele), P jako pozitivní.

V typu N jsou elektrony majoritní (hlavní) nositelé a díry minoritní; v typu P je to obráceně. Materiál přitom zůstává navenek elektricky neutrální: příměsový atom, který svůj elektron pustil, zůstane jako pevný kladný ion zaražený v mřížce a jeho náboj přesně vyrovnává náboj pohyblivého nositele.

PN přechod

Spojí-li se kus typu P (plno děr) s kusem typu N (plno volných elektronů), nastane u rozhraní difúze: volné elektrony z N přejdou kousek do P a díry z P do N (každý jde tam, kde jich je méně). Když se elektron potká s dírou, zapadne do ní — rekombinuje, a oba tím zmizí jako volní nositelé.

Tím se u rozhraní vyčistí tenký pás bez volných nositelů, ve kterém zbudou jen pevné ionty příměsí: na N straně holé kladné ionty (elektrony utekly), na P straně holé záporné ionty (díry se zaplnily). Tato vrstva se jmenuje ochuzená (hradlová) vrstva. Pevné náboje vytvoří přes přechod vlastní elektrické pole, které dalším nositelům brání přejít — tlačí elektrony zpět do N a díry zpět do P. Vznikne napěťová bariéra (u křemíku zhruba 0,7 V) a difúze se zastaví; ustálí se rovnováha.

Polovodičová dioda

Dioda je PN přechod se dvěma vývody: anoda je strana P, katoda je strana N. Směr neurčuje proud, ale polarita přiloženého napětí, neboť ta mění výšku bariéry a šířku ochuzené vrstvy.

V propustném směru se připojí kladný pól na P (anodu) a záporný na N (katodu). Vnější pole míří proti vnitřnímu poli v hradlové vrstvě, obě se odečtou, bariéra a ochuzená vrstva se zmenší; jakmile vnější napětí překoná zhruba 0,7 V, nositelé přejdou a teče proud. V závěrném směru se připojí kladný pól na N: vnější pole míří souhlasně s vnitřním, sečtou se, bariéra naroste, ochuzená vrstva se roztáhne a proud prakticky neprojde.

Technický (konvenční) proud v propustném směru teče z P do N, tedy od anody ke katodě, ve směru, kam ukazuje šipka ve značce diody. Elektrony se fyzicky pohybují opačně, z N do P; rozdíl je jen otázkou domluvy o směru proudu. Dioda tak funguje jako jednosměrný ventil pro proud.

Bipolární tranzistor

Bipolární tranzistor je v podstatě kohoutek na proud: malým proudem ovládá velký proud. Skládá se ze tří střídavě dopovaných vrstev (NPN nebo PNP) se třemi vývody: emitor (odkud nositelé vyletí), báze (tenká prostřední vrstva, ovládací knoflík) a kolektor (kam nositelé doletí). Rozhodující je, že báze je velmi tenká.

U typu NPN chce hlavní proud téct z emitoru do kolektoru, ale v cestě stojí přechod báze–kolektor v závěrném směru. Pustí-li se do báze malý proud (otevře se přechod emitor–báze v propustném směru), vystřelí se z emitoru do báze spousta elektronů. Protože je báze tak tenká, většina jich ji jen profrčí a spadne rovnou do kolektoru, místo aby odešla bází ven. Malý proud do báze tak odemkne mnohonásobně větší proud emitor–kolektor.

Z toho plynou dvě hlavní role: jako spínač (proud do báze znamená zapnuto, žádný proud do báze znamená vypnuto — na tom stojí logická hradla a procesory) a jako zesilovač (malé změny proudu v bázi vyvolají velké změny proudu v kolektoru, čímž se zesílí slabý signál).

Souvislosti

Pásová teorie a struktura pevných látek navazuje na částicové modely látek a vazby mezi částicemi (B3). Vedení proudu, odpor a Ohmův zákon souvisí se stacionárním proudem (C3) i s vedením proudu v dalších prostředích — kapalinách, plynech a vakuu (C5). Mikroskopický pohled na drift a srážky elektronů propojuje tuto otázku s molekulárně-kinetickou teorií a tepelným pohybem částic (B4).