Dielektrikum v elektrickém poli

TL;DR

• Dielektrikum je izolant — nemá náboje, které by se mohly volně pohybovat celým materiálem. V poli se ale jeho atomy polarizují: náboje se v rámci atomu kousek posunou a vzniknou dipóly.
• Tyhle dipóly nechají na povrchu materiálu nevyrušené vázané náboje, které vytvoří protipole. Výsledné pole uvnitř je proto $\varepsilon_r$-krát slabší než vnější. Permitivita $\varepsilon_r$ je číslo “kolikrát se pole oslabí”.
• Vektor elektrické indukce $\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$ je naschvál postavený tak, aby ignoroval vázané náboje a reagoval jen na volné. Proto v Gaussově větě stačí počítat volný náboj a proto $\vec{D}$ prochází hladce přes rozhraní dielektrik.

Klíčové body

Středoškolský základ (MUST):

• Dielektrikum = izolant, nemá volné náboje (náboje jsou pevně vázané k atomům, neputují materiálem).
• Polarizace: pole posune kladná jádra po směru $\vec{E}$ a elektrony proti, vzniknou dipóly orientované po směru pole.
• Vázané náboje na povrchu vytvoří protipole, které oslabí pole uvnitř $\varepsilon_r$-krát: $E = E_0/\varepsilon_r$.
• Permitivita ve třech podobách: $\varepsilon_0$ (vakuum), $\varepsilon_r$ (relativní, bezrozměrná), $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$ (celková).
• Coulombův zákon v dielektriku: $F = F_0/\varepsilon_r$ (síla zeslábne).
• Kapacita kondenzátoru s dielektrikem vzroste $\varepsilon_r$-krát: $C = \varepsilon_r C_0$, deskový $C = \varepsilon_r\varepsilon_0 S/d$.

VŠ nadstavba (pokud zbude čas):

• Vektor polarizace $\vec{P}$ jako dipólový moment na objem, $P = \sigma_{\text{vázané}}$, vztah $\vec{P} = \varepsilon_0\chi\vec{E}$, $\varepsilon_r = 1 + \chi$.
• Vektor elektrické indukce $\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$, Gaussova věta přes volný náboj.
• Chování $\vec{E}$ a $\vec{D}$ na rozhraní dvou dielektrik, lom siločar.
• Souvislost s první Maxwellovou rovnicí.

Nejdůležitější podotázky: Silové působení a permitivita jsou base (musí sedět). Polarizace a vektor $\vec{P}$ jsou jádro otázky. Kapacita s dielektrikem střední priorita. Vektor $\vec{D}$ a rozhraní jsou nejabstraktnější — důležité je hlavně pochopit, proč $\vec{D}$ existuje (ignoruje vázané náboje).

Polarizace dielektrika

Dielektrikum je izolant — sklo, plast, papír, vzduch, destilovaná voda. Nevede proud, protože nemá náboje, které by se mohly pohybovat celým materiálem. Náboje v něm jsou (každý atom má svoje elektrony), ale jsou pevně vázané ke svým atomům, neputují krystalem jako elektronový plyn v kovu.

Vloží-li se dielektrikum do elektrického pole, pole nemůže náboje protáhnout materiálem, ale může je v rámci atomu kousek posunout. Kladné jádro se posune po směru intenzity $\vec{E}$ (síla na kladný náboj je $\vec{F} = q\vec{E}$), záporné elektrony proti směru. Z původně symetrického atomu vznikne dipól — jeden konec mírně kladný, druhý záporný. U látek jako voda jsou dipóly přítomné už samy o sobě a pole je jen natočí.

Vázané náboje a oslabení pole

Když se všechny dipóly natočí stejně, uvnitř materiálu se sousední konce vyruší: plus konec jednoho dipólu leží vedle mínus konce sousedního. Na okrajích ale soused chybí — na jednom povrchu zbude nevyrušená vrstva záporných konců, na druhém kladných. Tyto povrchové náboje se nazývají vázané náboje. Nejde je přesunout, odvést vodičem ani jimi nabít jiné těleso (na rozdíl od volných nábojů na kovové desce); existují jen tak dlouho, dokud je pole drží, a po vypnutí pole zmizí.

Vázané náboje vytvářejí vlastní pole mířící proti vnějšímu poli. Výsledné pole uvnitř dielektrika je proto slabší než vnější pole. Míru oslabení udává relativní permitivita $\varepsilon_r$:

$E = \frac{E_0}{\varepsilon_r}$

Pro vakuum $\varepsilon_r = 1$, vzduch přibližně 1, sklo zhruba 5 až 7, voda kolem 80.

Silové působení a permitivita

Coulombův zákon ve vakuu má tvar $F_0 = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q_1 q_2}{r^2}$. V dielektriku síla zeslábne $\varepsilon_r$-krát:

$F = \frac{1}{4\pi\varepsilon}\cdot\frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac{F_0}{\varepsilon_r}$

Důvod oslabení je stejný jako u pole: každý náboj se částečně obalí opačnými vázanými náboji, které stíní jeho pole, takže druhý náboj cítí slabší sílu.

Permitivita se vyskytuje ve třech podobách, které je nutné rozlišovat:

• $\varepsilon_0$ — permitivita vakua, přírodní konstanta, $\varepsilon_0 \approx 8{,}85\cdot10^{-12}$ F/m.
• $\varepsilon_r$ — relativní permitivita (dielektrická konstanta), bezrozměrné číslo, vlastnost materiálu; udává kolikrát materiál oslabí pole.
• $\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0$ — permitivita prostředí; dosazuje se do Coulombova zákona v dielektriku.

Vektor polarizace

Polarizaci jako jev kvantifikuje vektor polarizace $\vec{P}$ — udává dipólový moment připadající na jednotku objemu:

$\vec{P} = \frac{\text{celkový dipólový moment}}{\text{objem}}$

Čím hustěji a silněji jsou dipóly natočené, tím větší $\vec{P}$. Vektor míří po směru pole $\vec{E}$, které polarizaci způsobuje.

Velikost $\vec{P}$ se rovná plošné hustotě vázaného náboje na povrchu:

$P = \sigma_{\text{vázané}}, \qquad \sigma = \frac{Q}{S}$

To dává smysl: čím víc jsou dipóly natočené (větší $P$), tím víc nevyrušených konců zbude na povrchu (větší vázaný náboj). $\vec{P}$ je tedy most mezi děním v atomech a nábojem na povrchu.

U lineárních dielektrik je polarizace přímo úměrná poli:

$\vec{P} = \varepsilon_0\chi\vec{E}, \qquad \varepsilon_r = 1 + \chi$

kde $\chi$ je susceptibilita (materiálová konstanta). Silnější pole tedy znamená větší $\vec{P}$ a víc vázaného náboje na povrchu; konstanty $\chi$ a $\varepsilon_r$ se přitom nemění, mění se odezva $\vec{P}$.

Kapacita kondenzátoru s dielektrikem

Kapacita udává, kolik náboje udrží kondenzátor na jeden volt napětí: $C = Q/U$, jednotka farad. Vložení dielektrika kapacitu zvětší $\varepsilon_r$-krát. Řetězec úvahy: dielektrikum oslabí pole $\varepsilon_r$-krát, přes $U = E\cdot d$ klesne $\varepsilon_r$-krát i napětí, a protože náboj na deskách zůstane stejný, podíl $C = Q/U$ vzroste $\varepsilon_r$-krát.

$C = \varepsilon_r C_0, \qquad C = \frac{\varepsilon_r\varepsilon_0 S}{d}$

Ze vzorce plynou tři způsoby, jak kapacitu zvětšit: větší plocha desek $S$, menší vzdálenost $d$, lepší dielektrikum (větší $\varepsilon_r$).

Vektor elektrické indukce a rozhraní dielektrik

Pole $\vec{E}$ se na rozhraní dvou dielektrik mění skokem — přejde-li ze vzduchu do skla, skokem zeslábne, protože za oslabení můžou vázané náboje na povrchu skla. Ty se ale špatně počítají (vznikají samy, závisí na materiálu). Proto se zavádí vektor elektrické indukce $\vec{D}$, postavený tak, aby vázané náboje ignoroval a reagoval jen na volné:

$\vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} = \varepsilon\vec{E}$

Zatímco $\vec{E}$ je skutečné (oslabené) pole, $\vec{D}$ je pole “očištěné od dielektrika”. To $\varepsilon_r$ oslabení a $\varepsilon_r$ v definici se vyruší, takže $\vec{D}$ se chová, jako by tam dielektrikum nebylo.

Chování na rozhraní

Na rozhraní dvou dielektrik platí dvě podmínky:

• Tečná složka $\vec{E}$ (podél rozhraní) se zachová.
• Kolmá složka $\vec{D}$ (napříč rozhraním) se zachová (není-li tam volný náboj).

Každý vektor tedy “hlídá” jeden směr. Tečnou složku $\vec{E}$ nemá podél rozhraní co rušit; kolmou složku $\vec{D}$ nemá co zlomit, protože mezi dvěma dielektriky není volný náboj a vázané $\vec{D}$ nevidí. Protože každý materiál má jinou permitivitu a každý vektor drží jiný směr, výsledná siločára se na rozhraní zlomí — analogicky k lomu světla.

Souvislost s Maxwellovou rovnicí

Gaussova věta s vektorem $\vec{D}$ je první z Maxwellových rovnic. V integrálním tvaru:

$\oint \vec{D}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = Q_{\text{volný}}$

Tok $\vec{D}$ uzavřenou plochou se rovná volnému náboji uvnitř. Na pravé straně je jen volný náboj právě proto, že vázané náboje jsou “schované” v permitivitě $\varepsilon$ ve vztahu $\vec{D} = \varepsilon\vec{E}$. Diferenciální tvar $\nabla\cdot\vec{D} = \rho_{\text{volný}}$ říká totéž bodově.

Důležité odlišení: rovnice a věta “náboje jsou zdrojem pole” nejsou vztah příčina–následek, ale totéž řečené dvakrát (slovy a matematicky). Fyzikální příčinnost je jasná: náboj je příčina, pole je následek, proto je náboj zdrojem pole. Nulový tok přitom neznamená nulové pole — znamená jen nulový celkový náboj uvnitř. Pole může procházet zevnitř plochy, i když je uvnitř nulový náboj (zdroj leží mimo), nebo když je uvnitř součet nábojů nulový (například dipól $+q$ a $-q$).

Souvislosti

Coulombův zákon, intenzita a potenciál se přebírají z C1 (Elektrostatika), permitivita dielektrika je jen jejich úprava. Vektor $\vec{D}$ a Gaussova věta jsou stavebním kamenem první Maxwellovy rovnice, jejíž zbylé části se objevují v C6 (stacionární magnetické pole), C7 (magnetikum) a C8 (elektromagnetická indukce). Pojem polarizace materiálu navazuje na částicové modely látek (B3).