Optické zobrazování

TL;DR

• Optické zobrazování stojí na jedné rovnici $\frac{1}{a}+\frac{1}{a'}=\frac{1}{f}$ a třech paprscích. Platí úplně stejně pro čočky i zrcadla.
• Čočka světlo láme, zrcadlo odráží, ale matematika je táž. Spojka i duté zrcadlo paprsky svádí dohromady ($f>0$), rozptylka i vypouklé zrcadlo je rozhazují ($f<0$).
• Znaménka rozhodují o všem: $a'>0$ je skutečný obraz (chytíš na stínítko), $a'<0$ zdánlivý (jen ho vidíš), $Z<0$ převrácený. U zrcadla leží skutečný obraz před zrcadlem, opačně než u čočky.
• Přístroje jsou jen poskládané čočky: lupa je jedna spojka, mikroskop i dalekohled jsou objektiv plus okulár, kde okulár vždy funguje jako lupa.

Klíčové body

Středoškolský základ (MUST):

• Zobrazovací rovnice $\frac{1}{a}+\frac{1}{a'}=\frac{1}{f}$ a příčné zvětšení $Z=-\frac{a'}{a}$ (platí pro čočku i zrcadlo).
• Spojka (svádí, $f>0$) versus rozptylka (rozhazuje, $f<0$); duté zrcadlo jako spojka, vypouklé jako rozptylka.
• Ohnisko zrcadla leží v polovině poloměru: $f=\frac{r}{2}$.
• Konstrukce obrazu třemi univerzálními paprsky (chod paprsků).
• Rozlišení skutečný (na stínítko) versus zdánlivý (jen vidíš) obraz a vzpřímený versus převrácený obraz podle znamének.
• Princip lupy, mikroskopu a dalekohledu jako soustav čoček.

VŠ nadstavba (pokud zbude čas):

• Sylabus D7 nežádá explicitně žádnou vysokoškolskou nadstavbu, celá otázka je na úrovni středoškolské geometrické optiky s vyšší formalizací. Případná doplňující otázka u brýlí míří na optickou mohutnost $\varphi=\frac{1}{f}$ v dioptriích a skládání tenkých čoček $\varphi=\varphi_1+\varphi_2$, to ale v rozsahu D7 přímo není.

Nejdůležitější podotázky: zobrazování čočkou a zrcadlem (zobrazovací rovnice plus chod paprsků) jsou hlavní; přístroje (lupa, mikroskop, dalekohled) středně; znaménkové konvence zrcadlo versus čočka jsou zákeřné, vyplatí se je umět.

Páteř: jedna rovnice a tři paprsky

Celé optické zobrazování drží na jediném vztahu. Pro čočku i zrcadlo platí zobrazovací rovnice

$\frac{1}{a} + \frac{1}{a'} = \frac{1}{f}$

kde $a$ je vzdálenost předmětu od soustavy, $a'$ vzdálenost obrazu a $f$ ohnisková vzdálenost. Intuitivně je $\frac{1}{f}$ pevně daná „kapacita” soustavy ohýbat světlo; o tu se dělí poloha předmětu a obrazu. Oddálením předmětu ($a$ roste) se obraz přisune blíž k ohnisku, a naopak; součet zůstává konstantní.

Příčné zvětšení udává velikost a orientaci obrazu:

$Z = -\frac{a'}{a}$

Ohnisková vzdálenost $f$ je vlastnost samotné soustavy: kam svede paprsky přicházející rovnoběžně (od nekonečně vzdáleného zdroje, prakticky od Slunce). Pro takový zdroj je $a\to\infty$, tedy $\frac{1}{a}\to 0$, a z rovnice plyne $a'=f$. Obraz Slunce tedy vznikne přesně v ohnisku, proto se tam soustředěnou energií zapálí papír.

Obraz se konstruuje třemi univerzálními paprsky vycházejícími z vrcholu předmětu. Kde se sejdou, tam je vrchol obrazu. Stačí kterékoli dva, třetí slouží jako kontrola.

Tři pravidla pro chod paprsků u čočky:

• paprsek rovnoběžný s osou se po lomu zlomí do ohniska $F'$,
• paprsek jdoucí středem čočky letí rovně a nemění směr,
• paprsek procházející ohniskem $F$ vyjde po lomu rovnoběžně s osou.

Čočky: spojka a rozptylka

Čočka mění směr světla lomem. Spojka (uprostřed silnější) paprsky svádí dohromady a má $f>0$. Rozptylka (uprostřed tenčí) je rozhazuje a má $f<0$.

Spojka svede rovnoběžné paprsky do reálného ohniska za čočkou, kam lze umístit stínítko. Rozptylka paprsky rozhodí; reálně se neprotnou, jen jejich zpětná prodloužení se sbíhají v zdánlivém ohnisku před čočkou. Rozptylka proto nikdy nedá skutečný obraz, vždy jen zmenšený zdánlivý vzpřímený (využití v brýlích na krátkozrakost).

Obraz se obrací proto, že paprsek z vrcholu předmětu míří přes střed čočky šikmo dolů a za čočkou skončí dole, zatímco paprsek z paty jde nahoru. Ve středu čočky se vše zkříží, takže co bylo nahoře, je dole. Stejný mechanismus má lidské oko: na sítnici vzniká obraz převrácený a mozek jej obrací.

Zrcadla

Zrcadlo dělá s paprsky totéž co čočka, jen místo lomu je odráží. Duté zrcadlo (zahnuté dovnitř) se chová jako spojka, vypouklé (vyboulené ven) jako rozptylka. Ohnisko leží v polovině poloměru kulové plochy, $f=\frac{r}{2}$, a platí stejná zobrazovací rovnice. Ohnisko je před zrcadlem, protože světlo se odráží zpět.

Chod paprsků u zrcadla má stejnou logiku jako u čočky:

• paprsek rovnoběžný s osou se po odrazu zlomí do ohniska $F$,
• paprsek jdoucí ohniskem $F$ se po odrazu vrátí rovnoběžně s osou,
• paprsek na vrchol zrcadla $V$ se odrazí symetricky podle osy (úhel dopadu se rovná úhlu odrazu),
• paprsek mířící přes střed křivosti $C$ dopadá kolmo a vrací se sám po sobě (každá spojnice z $C$ je poloměr).

Znaménka: zrcadlo versus čočka

Tady je nejčastější chyba. U čočky světlo prolétá skrz, takže skutečný obraz vzniká za čočkou, na opačné straně než předmět. U zrcadla se světlo odráží zpět, takže skutečný obraz leží před zrcadlem, na téže straně jako předmět.

• Skutečný obraz ($a'>0$): leží tam, kam reálně dopadají paprsky (u čočky za ní, u zrcadla před ním), dá se zachytit na stínítko.
• Zdánlivý obraz ($a'<0$): leží tam, kde žádné světlo není a paprsky se jen zdánlivě protínají po prodloužení (u čočky před ní, u zrcadla za ním). Vidíš jej okem, na stínítko nezachytíš.

Kdo mechanicky přenese čočkové „skutečný rovná se na druhé straně” na zrcadlo, splete si stranu. Proto se u zrcadla obzvlášť vyplatí nakreslit chod paprsků a stranu odečíst z obrázku místo dosazování zpaměti.

Optické přístroje

Všechny přístroje jsou poskládané spojky a používá se u nich stále táž zobrazovací rovnice.

Lupa je jedna spojka, před kterou se předmět umístí blíž než do ohniska ($a<f$). Z rovnice pak vyjde $a'<0$ a $Z>0$ větší než jedna, tedy zvětšený vzpřímený zdánlivý obraz. To je důvod, proč se text musí držet blíž než ohnisko, aby lupa zvětšovala.

Mikroskop pozoruje malé předměty zblízka. Objektiv s krátkou ohniskovou vzdáleností udělá z drobného vzorku zvětšený skutečný převrácený obraz uvnitř přístroje. Tento mezisbraz pak okulár pozoruje jako lupa a ještě jej zvětší. Dvojí zvětšení za sebou dává celkové zvětšení až tisícinásobné.

Dalekohled pozoruje vzdálené předměty. Objektiv s dlouhou ohniskovou vzdáleností udělá z rovnoběžných paprsků malý obraz ve svém ohnisku a okulár jej opět pozoruje jako lupa. Schéma je tedy stejné jako u mikroskopu (objektiv plus okulár, okulár jako lupa), liší se jen tím, zda míří na malé zblízka, nebo velké zdaleka.

Tento typ se dvěma spojkami je Keplerův dalekohled a dává převrácený obraz, což astronomii nevadí. Pro pozemní pozorování existuje Galileiho dalekohled, který má místo druhé spojky rozptylku umístěnou před ohnisko objektivu. Paprsky se zachytí dříve, než se stačí zkřížit, a narovnají se do oka, takže obraz zůstane vzpřímený a tubus je kratší (princip divadelního kukátka).

Srovnání ve dvou větách: Keplerův dalekohled je spojka plus spojka, dává převrácený obraz, je delší a hodí se pro astronomii. Galileiho dalekohled je spojka plus rozptylka, dává vzpřímený obraz a je kratší. Většina dnešních binokulárů je Keplerova typu s vloženými hranoly, které obraz otočí zpět vzhůru správně.

Doplněk mimo sylabus

Tato sekce není v sylabu D7, ale objevuje se v otázkách od jiných zdrojů. Vše je přímou aplikací zobrazovací rovnice.

Optická mohutnost (dioptrie): $\varphi = \frac{1}{f}$, jednotka dioptrie (1 D = 1 m$^{-1}$). Spojka má kladnou, rozptylka zápornou. Tenké čočky za sebou se sčítají: $\varphi = \varphi_1 + \varphi_2$.

Ostření je zobrazovací rovnice v akci. Pro různě vzdálené předměty se mění $a$, a aby obraz padl na pevné místo, musí se přizpůsobit zbylá veličina. Oko má pevnou sítnici (pevné $a'$), proto mění $f$ stlačováním čočky (akomodace). Fotoaparát má pevné $f$ objektivu, proto mění $a'$ posunem objektivu vůči čipu.

Krátkozrakost a dalekozrakost jsou poruchy ostření oka. Krátkozraké oko zobrazuje před sítnici (vidí dobře nablízko), koriguje se rozptylkou (záporná dioptrie). Dalekozraké oko zobrazuje až za sítnici (vidí dobře nadálku), koriguje se spojkou (kladná dioptrie).

Cylindrické brýle (cylindry) korigují astigmatismus, kdy oko láme jinak ve vodorovném a jinak ve svislém směru (má jakoby dvě ohniskové vzdálenosti). Cylindrická čočka má sama různou mohutnost v různých směrech a natočí se tak, aby vadný směr dorovnala; proto má předpis navíc údaj o ose ve stupních.

Souvislosti

Optické zobrazování staví na zákonech lomu a odrazu (D4 Principy šíření světla); čočka i zrcadlo jsou jen tyto zákony použité na zakřivenou plochu. Vlnová stránka světla (interference, ohyb) se řeší samostatně v dalších okruzích bloku D. Geometrická optika také navazuje na obecné chápání světla jako elektromagnetického vlnění, tedy na elektřinu a magnetismus.