Molekulárně-kinetická teorie tepla

Klíčové body

Středoškolský základ (MUST):

• Teplota = míra střední kinetické energie chaotického pohybu molekul
• Střední kinetická energie jednoatomové molekuly: $\bar{E}_k = \frac{3}{2} k_B T$
• Vnitřní energie ideálního plynu závisí jen na teplotě: $U = \frac{3}{2} N k_B T$ (jednoatomový)
• Tlak plynu = makro projev bombardování stěn molekulami: $p = \frac{1}{3} n_0 m \bar{v^2}$
• Dvojí pohled: termodynamika (makro: T, p, V) vs. molekulární fyzika (mikro: pohyb částic)
• Teplo = energie přenesená srážkami mezi molekulami kvůli rozdílu teplot

VŠ nadstavba (pokud zbude čas):

• Ekvipartiční teorém: na každý stupeň volnosti připadá $\frac{1}{2} k_B T$
• Stupně volnosti: 3 posuvy + (2 nebo 3) rotace + případné kmity
• Obecný vzorec: $\bar{E}_k = \frac{f}{2} k_B T$, kde $f$ je počet stupňů volnosti molekuly
• Kmity (vibrace) se “probouzí” až při vysokých teplotách (kvantový efekt)

Nejdůležitější podotázky: Vztah mezi pohybem mikročástic a makroskopickými veličinami je hlavní; dvojí pohled (termodynamika vs. MKT) na teplo, teplotu a vnitřní energii je druhá hlavní; ekvipartiční teorém a stupně volnosti střední priorita.

Dva pohledy na stejnou věc

Termodynamika popisuje plyn “shora” — měříme teplotu teploměrem, tlak manometrem, objem pravítkem. Tyto makroskopické veličiny popisují plyn jako celek a nepotřebují vědět, z čeho je složený.

Molekulárně-kinetická teorie (MKT) popisuje stejný plyn “zdola” — jako obrovský počet molekul, které se chaoticky pohybují, narážejí do sebe a do stěn nádoby. Tlak vzniká bombardováním stěn, teplota je míra rychlosti pohybu molekul, teplo je předávání kinetické energie srážkami.

MKT je most mezi těmito dvěma pohledy. Ukazuje, že makroskopické zákony termodynamiky vyplývají z mikroskopické statistiky pohybu velkého množství částic.

Teplota jako kinetická energie

Centrální tvrzení MKT: teplota není samostatná fyzikální veličina, ale míra střední kinetické energie chaotického pohybu molekul. Pro jednoatomový ideální plyn:

$\bar{E}_k = \frac{3}{2} k_B T$

kde $\bar{E}_k$ je střední kinetická energie jedné molekuly, $k_B \approx 1{,}38 \cdot 10^{-23}$ J/K je Boltzmannova konstanta a $T$ termodynamická teplota.

Boltzmannova konstanta funguje jako převodník mezi kelviny a jouly na molekulu. Teplota je v podstatě energie přepočtená do jiných jednotek.

Trojka ve vzorci pochází ze tří nezávislých směrů pohybu (x, y, z). Pokud má molekula další stupně volnosti (rotace, kmity), trojka se zvětší.

Tlak jako bombardování stěn

Z mikroskopického pohledu vzniká tlak tím, že molekuly narážejí do stěn nádoby. Každá srážka předá stěně malý impulz. Když se to sečte přes všechny srážky za sekundu a vydělí plochou stěny, dostaneme tlak.

Základní vzorec MKT pro tlak ideálního plynu:

$p = \frac{1}{3} n_0 m \bar{v^2}$

kde $n_0$ je počet molekul v jednotce objemu, $m$ hmotnost jedné molekuly, $\bar{v^2}$ střední kvadrát rychlosti. Trojka v jmenovateli vyjadřuje, že chaotický pohyb se rovnoměrně rozkládá mezi tři prostorové směry — do dané stěny “tlačí” v průměru jedna třetina pohybu.

Spojením tohoto vzorce se stavovou rovnicí $pV = N k_B T$ dostaneme znovu $\bar{E}_k = \frac{3}{2} k_B T$. Dva nezávislé přístupy vedou ke stejnému výsledku — to potvrzuje konzistenci MKT.

Vnitřní energie ideálního plynu

Vnitřní energie $U$ je termodynamická veličina — energie skrytá uvnitř plynu nezávisle na jeho makropohybu. Z pohledu MKT je to součet kinetických energií všech molekul.

Pro jednoatomový ideální plyn s $N$ molekulami:

$U = N \cdot \bar{E}_k = \frac{3}{2} N k_B T = \frac{3}{2} n R T$

kde $n$ je látkové množství v molech a $R = N_A k_B \approx 8{,}314$ J/(mol·K) univerzální plynová konstanta.

Klíčová vlastnost: u ideálního plynu závisí $U$ pouze na teplotě. Důvod je mikroskopický — mezi molekulami ideálního plynu nepůsobí žádné síly na dálku, takže neexistuje potenciální energie. Veškerá vnitřní energie je kinetická a ta je daná jen teplotou.

U reálných plynů a kapalin už mezimolekulární síly hrají roli, takže vnitřní energie závisí i na objemu (vzdálenosti mezi molekulami).

Stupně volnosti a ekvipartiční teorém

Ekvipartiční teorém říká, že příroda rozděluje energii rovnoměrně mezi všechny dostupné způsoby pohybu. Na každý stupeň volnosti připadá v průměru $\frac{1}{2} k_B T$.

Stupeň volnosti = každý nezávislý způsob, jak se molekula může pohybovat nebo otáčet.

Typy stupňů volnosti:

• Posuvy (translace): vždy 3 (pohyb ve směrech x, y, z)
• Rotace:
  • Jednoatomová molekula (kulička): 0 rotací (otočení bodu nic nezmění)
  • Lineární molekula (O₂, CO₂): 2 rotace (rotace kolem podélné osy se nepočítá — molekula vypadá stejně)
  • Nelineární molekula (H₂O, NH₃): 3 rotace
• Kmity (vibrace): atomy v molekule kmitají vůči sobě jako spojené pružinkami; počet závisí na složitosti molekuly

Obecný vzorec pro střední kinetickou energii jedné molekuly:

$\bar{E}_k = \frac{f}{2} k_B T$

kde $f$ je celkový počet aktivních stupňů volnosti.

Příklady při pokojové teplotě:

Plyn	Typ	Posuvy	Rotace	$f$
He, Ar	jednoatomový	3	0	3
O₂, N₂	dvouatomový lineární	3	2	5
CO₂	tříatomový lineární	3	2	5
H₂O	tříatomový nelineární	3	3	6

Kmity se při pokojové teplotě obvykle “neprobouzí” — je to kvantový efekt. Energie potřebná k rozkmitání molekuly je vyšší než typická tepelná energie $k_B T$, takže kmity zůstávají “zamrzlé”. Při vysokých teplotách (stovky až tisíce kelvinů) se kmity rozjedou a tepelná kapacita plynu se zvedne.

Dva pohledy na klíčové veličiny

Klíčovou myšlenkou B4 je, že stejnou fyzikální veličinu lze popsat dvojím způsobem:

Teplota

• Termodynamicky: to, co měří teploměr; určuje směr toku tepla (teplo teče od teplejšího ke chladnějšímu)
• Molekulárně: míra střední kinetické energie chaotického pohybu molekul

Teplo

• Termodynamicky: energie přenesená mezi tělesy kvůli rozdílu teplot (nikoli prací)
• Molekulárně: předávání kinetické energie srážkami mezi molekulami; rychlejší molekuly při srážce předají část energie pomalejším

Vnitřní energie

• Termodynamicky: stavová veličina, funkce stavu plynu
• Molekulárně: součet kinetických (a u reálných látek i potenciálních) energií všech molekul

Souvislosti

MKT je teoretickým podkladem pro stavovou rovnici ideálního plynu (B2) a termodynamické zákony (B1). Pojem částicového modelu látky (B3) navazuje přímo. Statistický přístup k velkému počtu částic se objevuje i v kvantové statistice u E-okruhů.