Pohyb a síla

Druhy pohybu

Pohyb hmotného bodu je popisován polohovým vektorem $\vec{r}(t)$ v dané vztažné soustavě. Z polohového vektoru odvozujeme:

• rychlost $\vec{v} = \dfrac{d\vec{r}}{dt}$
• zrychlení $\vec{a} = \dfrac{d\vec{v}}{dt} = \dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}$

Podle závislosti rychlosti a zrychlení na čase rozlišujeme:

Přímočarý rovnoměrný pohyb

$\vec{v} = \text{konst.}$, $\vec{a} = \vec{0}$. Rovnice dráhy: $s = v \cdot t$.

Přímočarý rovnoměrně zrychlený pohyb

$\vec{a} = \text{konst.}$. Rovnice rychlosti a dráhy:

$$v(t) = v_0 + a t, \qquad s(t) = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2$$

Křivočarý pohyb

Zrychlení má dvě složky: tečnou $a_t = \dfrac{dv}{dt}$ (mění velikost rychlosti) a normálovou $a_n = \dfrac{v^2}{r}$ (mění směr, $r$ je poloměr křivosti).

Určení sil z rovnice dráhy

Pokud známe pohybovou rovnici $\vec{r}(t)$, dvojí derivací získáme zrychlení a podle druhého Newtonova zákona:

$$\vec{F} = m \vec{a}$$

určíme výslednici sil působících na těleso. Jde o inverzní úlohu kinematiky: z popisu pohybu zpětně určujeme příčinu.

Určení pohybu ze známých sil

Druhý Newtonův zákon zapsaný jako diferenciální rovnice:

$$m \dfrac{d^2 \vec{r}}{dt^2} = \vec{F}(\vec{r}, \vec{v}, t)$$

je obecná pohybová rovnice. Řešení této rovnice (s počátečními podmínkami $\vec{r}(0)$, $\vec{v}(0)$) dává trajektorii.

Příklad: svislý vrh vzhůru

Síla: $\vec{F} = -m g \hat{z}$. Rovnice: $\ddot{z} = -g$. Integrací:

$$v(t) = v_0 - g t, \qquad z(t) = z_0 + v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2$$

Řešení pohybových rovnic

Obecně jde o soustavu obyčejných diferenciálních rovnic 2. řádu. Strategie:

1. Volba souřadnic podle symetrie problému (kartézské, polární, sférické).
2. Identifikace sil a jejich rozklad do zvolených souřadnic.
3. Sestavení rovnice $m\ddot{\vec{r}} = \sum \vec{F}_i$.
4. Integrace podle typu (separace proměnných, lineární ODR, numericky).
5. Aplikace počátečních podmínek a kontrola fyzikálního smyslu výsledku.

Vztažné soustavy

Pohyb je vždy popisován vzhledem k nějaké vztažné soustavě. Rozlišujeme:

• Inerciální — platí v ní Newtonovy zákony. V nerelativistické mechanice spojené Galileovou transformací.
• Neinerciální — pro zachování formy pohybové rovnice se zavádějí setrvačné síly (odstředivá, Coriolisova, Eulerova).